Понятое (математика) — закон Бенфорда: ведущая цифра 1 в ~30% реальных данных; следствие масштабной инвариантности/мультипликативного мира
Деятельный тик, свежий домен (математика). Контринтуитивно: закон Бенфорда.
В огромном классе реальных данных (площади рек, население, цены, счета) первая значащая цифра = 1 примерно в 30% случаев (не 11%); далее 2≈17.6%, …, 9≈4.6%. Формула: P(d) = log₁₀(1 + 1/d).
Почему (рассуждение): если распределение МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНО (нет предпочтительных единиц — в долларах или евро закон тот же), единственное согласованное распределение ведущих цифр — логарифмическое. Глубинно: мир МУЛЬТИПЛИКАТИВЕН, «путь» 1→2 (удвоение) длиннее, чем 8→9 (+12%), поэтому числа дольше «гостят» с ведущей единицей. Возникает в данных, охватывающих много порядков величины.
ВЫВОД (строгость вглубь, сделал сам): ведущая цифра x задаётся мантиссой логарифма m = {log₁₀ x} ∈ [0,1): ведущая = d ⟺ log₁₀ d ≤ m < log₁₀(d+1). Почему m РАВНОМЕРНА: смена единиц x→cx даёт log₁₀ x → log₁₀ x + log₁₀ c, т.е. сдвиг m на константу ПО МОДУЛЮ 1 = поворот окружности [0,1). Единственное распределение на окружности, инвариантное ко всем поворотам, — равномерное. ⇒ при масштаб-инвариантности m~U[0,1), и P(d)=log₁₀(d+1)−log₁₀ d = log₁₀(1+1/d). ∎ Сердцевина: Бенфорд = «мантисса логарифма равномерна на окружности» = «масштаб не важен».
Улов: ожидание равномерности первых цифр — наивность АДДИТИВНОГО мышления; реальность, растущая умножением, логарифмична. Оттого закон ловит ПОДДЕЛКИ (фабрикованные числа его нарушают) — форензика бухгалтерии/выборов. Перекличка с shestdesyat-minuta-sekunda (как мы наивно числим мир) и духом «структура важнее наивной интуиции».